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如图,正方形ABCD中,E、F分别是BC边、CD边上的动点,满足∠EAF=45°.(1)求证:BE+DF=EF;(2)若正方
如图,正方形ABCD中,E、F分别是BC边、CD边上的动点,满足∠EAF=45°.(1)求证:BE+DF=EF;(2)若正方
2025-05-09 19:45:08
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回答1:
(1)证明:延长FD到G,使DG=BE,连接AG,
∵在△GDA和△EBA中,
DG=BE
∠GDA=∠ABE=90°
AD=AB
,
∴△GDA≌△EBA,
∴AG=AE,∠GAD=∠EAB,
故∠GAF=45°,
在△GAF和△EAF中,
∵
AG=AE
∠GAF=∠EAF
AF=AF
,
∴△GAF≌△EAF,
∴GF=EF,
即GD+DF=BE+DF=EF;
(2)令BE=a,DF=b,则EF=a+b,r=
1-a+1-b-(a+b)
2
=1-(a+b),
∵(1-a)
2
+(1-b)
2
=(a+b)
2
,
整理得1-(a+b)=ab,而ab≤
1
4
(a+b)
2
,
1
4
(a+b)
2
+(a+b)-1≥0,
解得:a+b≥-2+2
2
或a+b≤-2-2
2
(舍去),
r=1-(a+b)≤1-(-2+2
2
)=3-2
2
,
当且仅当a=b=
2
-1时,等号成立.
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