马斯克 > 计算曲面积分闭合曲面I=ff(x^2+y^2)dS.其中曲面为球面x^2+y^2+z^2=2(x+y+z)

计算曲面积分闭合曲面I=ff(x^2+y^2)dS.其中曲面为球面x^2+y^2+z^2=2(x+y+z)

2025-05-09 07:30:43

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回答1：

x² + y² + z² = 2x + 2y + 2z
(x - 1)² + (y - 1)² + (z - 1)² = 3
令x = 1 + u，y = 1 + v，z = 1 + w
==> Σ'：u² + v² + w² = 3
I = ∫∫Σ (x² + y²) dS
= ∫∫Σ' [(1 + u)² + (1 + v)²] dS
= ∫∫Σ' (u² + v² + 2 + 2u + 2v) dS
= 2∫∫Σ' u² dS + 2∫∫Σ' dS
= (2/3)∫∫Σ' (u² + v² + w²) dS + 2∫∫Σ' dS
= (2/3)∫∫Σ' (3) dS + 2∫∫Σ' dS
= [(2/3)(3) + 2]∫∫Σ' dS
= 4 * (4π)(3)
= 48π