1、8πR^4/3。
利用轮换对称性，∫∫x^2dS=∫∫y^2dS=∫∫z^2dS。所以原积分=2/3∫∫ (x^2+y^2+z^2)dS=2/3∫∫R^2dS=2/3×R^2×4πR^2。
2、-zxi+yzj。
利用旋度公式，旋度是向量-zxi+yzj。
3、-ln(1-x)(-1＜x＜1)。
收敛区间是(-1,1)。设和函数是s(x)，逐项求导，则s'(x)=∑x^(n-1)=1/(1-x)，所以和函数是-ln(1-x)。
4、x^3+3x^2y^2+4y^3/3=C。
微分方程是全微分方程，写成3x^2dx+6xy(ydx+xdy)+4y^2dy=0，则d(x^3)+d(3x^2y^2)+d(4y^3/3)=0，所以x^3+3x^2y^2+4y^3/3=C。
5、[-1,0)。
记t=2x+1，则级数为∑t^2/n，|u(n+1)/un|=n/(n+1)→1，所以收敛半径是1，|2x+1|＜1即-1＜x＜0时级数绝对收敛。x=0时，级数是∑1/n，发散。x=-1时，级数是∑(-1)^n/n，收敛。所以收敛域是[-1,0)。
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