楼上的思路基本正确，积分时要将y,x转换为用t表示的函数。
我补充一下过程吧：
S=∫|y|dx
=∫a(1-cost)dx
（∵y=a(1-cost)≥0,其中a>0）
又∵x=a(t-sint)
∴dx=a(1-cost)dt
S=∫(0,2π)
a²(1-cost)²dt
=a²∫(0,2π)
(1-cost)²dt
=a²∫(0,2π)
(1+cos²t-2cost)dt
=a²∫(0,2π)
[1+(1+cos2t)/2-2cost]dt
=a²∫(0,2π)
(3/2+cos2t/2-2cost)dt
=a²[3t/2+sin2t/4-2sint]|(0,2π)
=3πa²
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