马斯克 > 如图1，直线L：y=-x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线G：y=ax 2 +bx+c与x轴的另一交点

如图1，直线L：y=-x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线G：y=ax 2 +bx+c与x轴的另一交点

2025-05-09 06:34:09

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回答1：

（1）当x=0时，y=3，
当y=0时，-x+3=0，解得x=3，
∴点B、C的坐标为B（3，0），C（0，3），
又∵抛物线过x轴上的A，B两点，且对称轴为x=2，
根据抛物线的对称性，
∴点A的坐标为（1，0），
∴

a+b+c=0

9a+3b+c=0

c=3

，
解得

a=1

b=-4

c=3

，
∴抛物线的解析式为y=x² -4x+3；

（2）设平移后的直线解析式为y=-x+b，
则

y=-x+b

y= x 2 -4x+3

，
∴x² -3x+3-b=0，
∵它与抛物线G只有一个公共点，
∴△=b² -4ac=（-3）² -4×1×（3-b）=9-12+4b=0，
解得b=

，
3-

，
∴向下平移了

个单位；

（3）∵A（1，0），B（3，0），

∴AB=3-1=2，
①当AB是边时，∵点E在对称轴上，平行四边形的对边平行且相等，
∴EF=AB=2，
∴点F的横坐标为0或4，
当横坐标为0时，y=0² -4×0+3=3，
当横坐标为4时，y=4² -4×4+3=3，
∴点F的坐标为F₁ （0，3）或F₂ （4，3），
此时点E的坐标为E₁ （2，3），
此时AE=

1 2 + 3 2

，
∴平行四边形的周长为：2（AB+AE）=2（2+

）=4+2

；
②当AB边为对角线时，EF与AB互相垂直平分，
∵y=x² -4x+3=（x-2）² -1，
∴此时点E、F的坐标为E₂ （2，1），F₃ （2，-1），
∴AE=

1 2 + 1 2

，
AF=

1 2 + 1 2

，
∴平行四边形的周长为：2（AE+AF）=2（

）=4

，
综上所述，点E、F的坐标分别为E₁ （2，3），F₁ （0，3）或F₂ （4，3），此时平行四边形的周长为4+2

，
或E₂ （2，1），F₃ （2，-1），此时平行四边形的周长为4

；

（4）连接PB，由y=x² -4x+3=（x-2）² -1，得P（2，-1），
设抛物线的对称轴交x轴于点M，
∵在Rt△PBM中，PM=MB=1，
∴∠PBM=45°，PB=

．
由点B（3，0），C（0，3）易得OB=OC=3，在等腰直角三角形OBC中，∠ABC=45°，
由勾股定理，得BC=3

．
假设在x轴上存在点Q，使得以点P，B，Q为顶点的三角形与△ABC相似．
①PB与AB是对应边时，∵∠PBQ=∠ABC=45°，
∴

，
即