（1）证明：∵∠A=2∠B，且∠A=60°，
∴∠B=30°，
∴∠C=180°-∠A-∠B=90°，
∴a2+b2=c2，c=2b，
∴a2=c2-b2=（2b）2-b2=3b2=b2+2b2=b2+bc=b（b+c）．…（2分）
（2）关系式a2=b（b+c）仍然成立．…（3分）
证明：如图，延长BA至点D，使AD=AC=b，连接CD．…（4分）
则△ACD为等腰三角形，
∴∠ACD=∠D，
∵∠BAC为△ACD的一个外角，
∴∠BAC=∠D+∠ACD=2∠D，
∵∠BAC=2∠B，
∴∠B=∠D，
∴CD=BC=a，∠B=∠ACD，
∴BD=AB+AD=b+c，
又∵∠D为△ACD与△CBD的一个公共角，
∴△ACD∽△CBD．…（4分）
∴＝，即＝，
∴a2=b（b+c）．…（6分）
（3）若△ABC是倍角三角形，由∠A=2∠B，应有a2=b（b+c），且a＞b．
当a＞c＞b时，设a=n+1，c=n，b=n-1，（n为大于1的正整数）
代入a2=b（b+c），得（n+1）2=（n-1）?（2n-1），
解得：n=5，
∴a=6，b=4，c=5，可以证明这个三角形中，∠A=2∠B；
当c＞a＞b或a＞b＞c时，
均不存在三条边长恰为三个连续正整数的倍角三角形．
∴边长为4，5，6的三角形为所求．…（8分）
