设f(x)在X=X0的某邻域可导，且f✀(X0)=A，则lim x→X0 f✀(X）存在等于A。

2024-11-12 16:34:25

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回答1：

结论倒过来是对的，即lim f'(x)=A，则f'(x0)=A。但反之未必对。

因为f(x)在x0可导，很有可能f'(x)在x0的邻域内不存在。

即使存在，也可以没有极限。简单的例子是：

f(x)=x^2sin(1/x)，当x不等于0时。

f(0)=0。

这个函数处处可导，但lim f'(x)不存在。

函数可导的条件：

如果一个函数的定义域为全体实数，即函数在其上都有定义。函数在定义域中一点可导需要一定的条件：函数在该点的左右导数存在且相等，不能证明这点导数存在。只有左右导数存在且相等，并且在该点连续，才能证明该点可导。

可导的函数一定连续；连续的函数不一定可导，不连续的函数一定不可导。

回答2：

举个反例即可，详情如图所示

回答3：

因为f'(x)在x=x0处不一定连续

回答4：

如果邻域为去心邻域。左边=左右导数存在，右边=导数存在。少了左右导数相等。