马斯克 > 如图，ABCD是正方形，O是该正方形的中心，P是平面ABCD外一点，PO⊥底面ABCD，E是PC的中点．求证：（1）PA

如图，ABCD是正方形，O是该正方形的中心，P是平面ABCD外一点，PO⊥底面ABCD，E是PC的中点．求证：（1）PA

2025-05-09 10:10:13

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回答1：

（1）证明：如图所示，连接OE，

∵O是正方形ABCD的中心，∴OC=OA，
∵E是PC的中点．∴CE=EP．
∴OE ∥ AP，
∵PA?平面BDE，OE?平面BDE，
∴PA ∥ 平面BDE；
（2）证明：∵PO⊥底面ABCD，∴PO⊥BD．
由正方形可得：BD⊥AC，
又PO∩AC=O，∴BD⊥平面PAC．
而BD?BED，∴平面BED⊥平面PAC．
（3）∵PO⊥底面ABCD，OA=OB，∴PA=

O A 2 +O P 2

O B 2 +O P 2

=PB，同理，PB=PC=PD．
∵PA=AB，∴△PAB是等边三角形，且△PAB≌△PBC≌△PCD≌△PDA．
而 S 正方形ABCD = 4 2 =16， S △PAB =

?A B 2 =4

．
∴四棱锥P-ABCD的全面积=S_{正方形ABCD} +4S_△PAB =16+16

．