解答：（1）解：由题意，c=1，可设椭圆方程为
+x2 1+b2
＝1，…（2分）y2 4b2
因为P在椭圆上，所以
+1 1+b2
＝1，解得b2=3，或b2=9 4b2
（舍去）．3 4
∴椭圆方程为
+x2 4
＝1．…（4分）．y2 3
（2）解：依题意知直线l方程为y=x-1，
设两交点为A（x1，y1），B（x2，y2），
由
?7x2?8x?8＝0…（6分）
y＝x?1
+x2 4
＝1y2 3
∴x1+x2＝
，x1?x2＝?8 7
，8 7
∴|AB|＝
(1+k2)[(x1+x 2)2?4x1x2]
=
＝
2[(
)2+4×8 7
]8 7
．…（8分）24 7
（3）证明：设直线PE方程：得y=k（x-1）+
，代入3 2
+x2 4
＝1，y2 3
得（3+4k2）x2+4k（3-2k）x+4（
?k）2-12=0，…（10分）3 2
设E（xE，yE），F（xF，yF）．因为点P（1，
）在椭圆上，3 2
所以xE＝
，yE=kxE+4(
?k)2?123 2 3+4k2
?k，…（12分）3 2
又直线PF的斜率与PE的斜率互为相反数，在上式中以-k代k，
可得xF=
，yF=-kxF+4(
+k)2?123 2 3+4k2
+k，…（13分）3 2
所以直线EF的斜率kEF=
=
yF?yE
xF?xE
=?k(xF+xE)+2k
xF?xE
．1 2
即直线EF的斜率为定值，其值为
．…（14分）1 2
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